Отец и мать родом из села Знаменское Черкасской волости Изюмского уезда Харьковской губернии.  По национальности украинцы (согласно советским документам).В 1929 году родители переехали в город Краматорск, где Быков окончил среднюю школу № 6, там же впервые вышел на сцену местного ДК имени Ленина. Во время Великой Отечественной войны Леонид вместе с семьёй находился в эвакуации в Барнауле. С детства он мечтал об авиации и дважды поступал в лётные училища. Первый раз — в Ойрот-Туре (в 1943 г.), куда была в 1942 году эвакуирована 2-я Ленинградская школа военных лётчиков, но туда его не взяли из-за приписанного себе возраста и маленького роста. Второй раз — в Ленинграде (в 1945 г.), во 2-ю спецшколу для лётчиков, которая была чуть позже расформирована по причине окончания войны.
   В театральный институт в Киеве принят не был, но поступил и окончил актёрский факультет Харьковского театрального института (1951). В 1951—1960 — актёр Харьковского государственного академического театра им. Т. Шевченко. В театре начинается его актёрская карьера, Быков играет в комедии «Улица трёх соловьёв, 17» стилягу — советского модника. В 1960—1968 — актёр и режиссёр киностудии «Ленфильм», с 1969 — актёр и режиссёр киностудии имени Довженко. Автор сценария сатирического киножурнала «Фитиль».
   Быков первый на своем курсе начал сниматься в кино. Фильм "Судьба Марины" сделал студента-третьекурсника знаменитым. В то же время Быков начинает играть в Харьковском академическом театре. Легенда о Павке Корчагине в его исполнении передается из поколения в поколение.
Еще учась в институте, Леонид и Тамара Быковы дали клятву, что никогда они не будут иждивенцами, никогда не будут ничего просить, никогда не будут поступаться принципами. Он был верен юношеской клятве всю жизнь - что бы ни случилось, не изворачивался, не бил исподтишка, не лгал.По воспоминаниям актрисы Ольги Красиной, он не шел на компромиссы, никогда ни с чем не соглашался в угоду каким-то расчетам. Он был человеком, который принимает любые удары через свое сердце.
Самые счастливые годы семья провела в Ленинграде, в квартире на Набережной Мартынова. Руководители Ленфильма сделали все, чтобы семья после переезда из Харькова, могла устроиться с комфортом, тем более, что у Леонида и Тамары было уже двое маленьких детей – сын Лесь и дочка Марьяна.
   В кино свою первую роль он сыграл в 1952 году в фильме «Судьба Марины». Следующую роль он получил в фильме «Укротительница тигров», где он сыграл Петю Мокина. В 1955 году — главная роль в фильме «Максим Перепелица».
"Максим Перепелица", "Укротительница тигров", "Осторожно: бабушка!", "Чужая родня", "Дорогой мой человек" - все эти картины вышли именно на Ленфильме и сделали Леонида Федоровича Быкова народным любимцем.В числе лучших ролей Леонида Быкова в кино можно назвать Богатырёва («Дорогой мой человек», 1958), Акишина («Добровольцы», 1958), Алёши, "Алёшкина любовь", 1960), Гаркуши («На семи ветрах», 1962).
   Руководство Украины настойчиво приглашало Быкова, и в 1971 году его семья переезжает из Ленинграда в Киев. Он ехал с надеждами и грандиозными планами, но, как оказалось,верхушке киностудии Довженко Быков был не нужен, и сразу после переезда для актера начались годы простоя.За первые два довженковских года Леонид Быков не снялся ни в одной картине, ничего не снял сам - он практически стал безработным. Иногда писал по нескольку сценариев в месяц, но ни один из них не был утвержден.
   Быков снова решается на переезд – на этот раз в Москву. Но жизнь нарушила его планы – заболела мама, Зинаида Панкратова. Больная требовала постоянного ухода, и Тамаре Быковой пришлось оставить работу. 4 года борьбы со страшной болезнью приковали семью Быкова к Киеву. Этот период Леонид Федорович разрывался между матерью, семьей и кабинетными боями.  В конце 60-х годов вместе с Евгением Оноприенко и Александром Сацким был создан сценарий фильма о лётчиках, который долго не пропускала цензура, из-за его «негероичности». Был снят фильм "В бой идут одни старики" в котором Леонид Быков сыграл главную роль.
   В 1977 году был снят ещё один фильм — «Аты-баты, шли солдаты». В 1978 году начало съёмок фантастического сатирического фильма «Пришелец» по повести Евгения Шатько «Пришелец-73», в качестве автора сценария, режиссёра и исполнителя главной роли инопланетянина Глоуза. К 1979 году уже отсняты две части фильма на видеопленку, представлены суду критиков. Картину ожидал успех, но судьба разрушила планы. По одной из версий, во время съёмок картины, Леонид пишет странное письмо-завещание на имя своих друзей Николая Мащенко и Ивана Миколайчука, как бы предчувствуя скорую трагедию. По другой, завещание было написано за три года до смерти, после перенесённого им инфаркта. Письмо, по воспоминаниям его дочери Марьяны, было написано на маленьком листочке бумаге, в стиле отца, с названием «А если это конец…».
"Пусть кто-то один скажет слово «прощай», и всё. Не надо цирка, называемого почестями. После этого «дерболызните» кто сколько может. А потом пусть 2-я эскадрилья врежет «Смуглянку» от начала и до конца…"
   Трагически погиб в автомобильной катастрофе на трассе «Минск-Киев» 11 апреля 1979 года. Быков возвращался на своей машине с дачи под Киевом. Впереди него двигался асфальтировочный каток, и Быков решил его объехать. Однако, как только он стал осуществлять обгон, ему навстречу выскочил грузовик. Чтобы избежать лобового столкновения, Л. Быков вывернул руль в сторону и на всей скорости врезался в каток. На момент смерти Быкову было всего 50 лет. Похоронен Леонид Федорович Быков на Байковом кладбище в Киеве.
   Следствие велось очень тщательно. Проводились консультации с экспертами, автогонщиками, эксперименты на автодроме «Чайка». Оказалось, что молодой водитель встречного грузовика, который уже собрался было в тюрьму, не виновен. Быков был трезв, но допустил оплошность, наверное, из-за усталости. И никакого инфаркта у него не было, иначе он отпустил бы педаль тормоза. Леонид Фёдорович до последнего пытался предотвратить столкновение.
Леонид Быков всегда мечтал стать лётчиком. По окончании школы поступал в лётное училище. Не прошёл из-за маленького роста. Зато его лучшего друга Виктора Щедронова приняли. Через полгода Виктор попал на фронт. Он погиб 11 апреля 1945 года в Чехословакии. А через двадцать лет Быков написал сценарий к своему лучшему фильму «В бой идут одни старики». Погибшего Виктора он воплотил в образе Смуглянки, даже фамилию сохранил — лейтенант Щедронов.