Николай Алексеевич родился под Белгородом, в семье оседлых цыган-сэрвов. Часть его детства пришлась на Великую Отечественную войну. Во время неё Николай потерял многих родных. О пережитом Николай  Сличенко говорит: "Фашисты на моих глазах расстреляли отца. После трагедии мама отправила меня в цыганский колхоз "Красный октябрь" Воронежской области. Там я услышал, что в Москве есть театр "Ромэн". Но денегна билет в Москву не было. Тогда цыгане собрали зерно, продали его и купили мне билет. Ночью я приехал на Курский вокзал, а утром вышел на сцену и стал читать "Белеет парус одинокий". Затем спел, станцевал. Приняли во вспомогательный состав."
В 1951 году Николая приняли в театр «Ромэн». Одарённый подросток привлёк внимание ведущих мастеров театра. Конечно, никаких поблажек ему не давали: он начинал, как большинство, артистом вспомогательного состава. Но ведущие актёры театра, такие как Ляля Чёрная, М. В. Скворцова, С. И. Андреева, М. И. Черкасова, С. Ф. Шишков, И. И. Ром-Лебедев, В. Ф. Бизев, Н. Г. Нарожный, С. С. Золотарёв, И. В. Хрусталёв, охотно делились с ним секретами мастерства. В эти годы Николай работает над собой, много читает, учится.
Впервые Николаю доверили главную роль уже в 1952 году, в неполные 18 лет, когда театр выезжал со спектаклем «Четыре жениха» по пьесе И. Хрусталева в Загорск (ныне — Сергиев Посад). Ему довелось играть роль Лексы, заменяя заболевшего актёра Сергея Фёдоровича Шишкова. Роль Лексы он потом играл долго, а позднее, по мере взросления, сыграл в этом спектакле ещё и роль Бади.
После «Четырёх женихов» на Николая Алексеевича обратили внимание, как на готового актёра. Его начали вводить в спектакли текущего репертуара. Всего на данный момент он сыграл свыше 60 ролей в родном театре, снялся в ряде фильмов, в том числе в картинах «В дождь и солнце», «Мой остров синий», «Свадьба в Малиновке» и других.
В 1977 году Николай Алексеевич стал режиссёром театра «Ромэн». Для этого он окончил Высшие режиссёрские курсы под руководством Народного артиста СССР Андрея Александровича Гончарова. Заботясь о завтрашнем дне  цыганского театра, Сличенко создал на базе Музыкального училища имени Гнесиных специальную студию для подготовки профессиональных кадров для театра «Ромэн». Поиски талантливой молодежи для этой студии шли по всей стране. В октябре 1978 года студия начала свою жизнь, а в июне 1982 года ее выпускники вошли в состав труппы театра «Ромэн». Сегодня все они ярко, интересно, перспективно заявили о себе и заняты  во всех спектаклях текущего репертуара в ответственных ролях.
4 декабря 1998 года на Площади звёзд в Москве заложена именная звезда Николая Сличенко.
О своей семье Николай Сличенко рассказывает: "Со своей женой Тамиллой Суджаевной мы познакомились в театре и вот уже 47 лет вместе. Так что скоро наша золотая свадьба. Тамилла пришла в театр в 1952 году. Мы посмотрели друг другу в глаза. Потом поехали на гастроли в Грузию, молча поднимались и спускались на фуникулере. Внутри творилось Бог знает что... Она - жена, мать, актриса, соратница, вернейший друг, соединивший в себе высшие достоинства женщины. Она - моя вечная муза и ангел-хранитель. Я очень дорожу своей семьей. У нас трое детей, пятеро внуков и правнучка."
Дочка Тамилла училась музыке в США, в Беркли. Там она работала со звездами первой величины, в том числе со Стивом Уандером.